dr inż. Andrzej Dębowski

Automatyka i robotyka

Algebra schematów blokowych układów automatyki

Do analizowania działania układów automatyki powszechnie stosowany jest opis układu przy użyciu schematu blokowego. Schemat taki dostarcza informacji o powiązaniach pomiędzy blokami i sygnałami, zaś projektant może w łatwy sposób dodawać bloki do istniejącego schematu w celu poprawienia jakości sterowania.
Schemat blokowy układu jest graficznym opisem funkcji wykonywanych przez każdy element rzeczywistego układu i przepływających między nimi sygnałów. W odróżnieniu od abstrakcyjnego opisu matematycznego, schematy blokowe mają tę zaletę, że bardziej realistycznie przedstawiają przepływy sygnałów w układzie. Tworzy się je bezpośrednio na podstawie układu równań opisujących schemat ideowy układu. Poszczególnym równaniom przyporządkowuje się elementy strukturalne schematu blokowego, które łączy się razem.
Modelowanie układów w postaci schematów blokowych realizuje się za pomocą trzech podstawowych elementów. Są to:
    - bloki,
    - węzły sumacyjne,
    - węzły zaczepowe.

Blok

Na schematach blokowych wszystkie zmienne są powiązane ze sobą poprzez bloki funkcyjne. Bloki te są odpowiednikami operacji matematycznych wykonywanych na sygnałach wejściowych dając w odpowiedzi sygnały wyjściowe. Należy pamiętać, że bloki są elementami jednokierunkowymi, mającymi jedno wejście i jedno wyjście, w których znajdują się postacie transmitancyjne obiektów rzeczywistych. Zaletą schematu blokowego jest to, że łatwo jest uformować schemat blokowy dla całego układu poprzez połączenie bloków przepływającymi sygnałami i wówczas możliwa jest ocena wpływu każdego składnika na działanie całego układu. Poza tym zawiera on informacje o zachowaniu dynamicznym układu.

Węzeł sumacyjny

Pusty okrąg lub też okrąg z krzyżykiem na schematach blokowych oznacza operację algebraicznego sumowania sygnałów. Znak plus (może też nie być zaznaczony) lub minus przy każdej ze strzałek informuje o tym czy sygnał ten jest dodawany czy też odejmowany. Dla sygnałów, które mają być odejmowane musi być zawsze zaznaczony znak minus. Na schemacie blokowym węzeł sumacyjny może mieć wiele sygnałów wchodzących, ale tylko jeden wychodzący.

Węzeł rozgałęźny

Węzeł rozgałęźny jest punktem, z którego sygnał rozchodzi się do innych bloków lub węzłów sumacyjnych.

Zasady przekształcenia schematów blokowych

Schematy blokowe przeważnie upraszcza się postaci o mniejszej liczbie bloków przy użyciu algebry schematów blokowych. Schematy blokowe przedstawiają transformowane przy użyciu przekształceń Laplace'a równania układu, dlatego też przekształcanie układu jest równoważne algebraicznemu przekształcaniu równań. Dla schematów blokowych z pojedynczym wejściem i wyjściem, redukcja oznacza upraszczanie schematu do postaci w której pozostanie już tylko pojedynczy blok zawierający transmitancję znajdującą się pomiędzy wejściem i wyjściem. W redukcji schematów blokowych, bardzo pomocne jest prowadzenie jej krok po kroku, zawsze utrzymując tą samą zależność pomiędzy wejściem i wyjściem.

Wersja PDF

Przykład 1

Zastosowanie przekształceń schematów blokowych zilustrowane zostało na poniższym przykładzie, w którym przeprowadzona została redukcja schematu blokowego.

Wyznaczanie transmitancji operatorowej układu

Zanim przejdę do wyjaśniania jak przekształca się równania różniczkowe do postaci transmitancyjnej koniecznych jest kilka słów teorii.
Transmitancja operatorowa danego elementu liniowego to stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego U(s) do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego W(s) przy zerowych warunkach początkowych.

Przekształcenie operatorowe Laplace’a polega na przyporządkowaniu danej funkcji f(t) zmiennej rzeczywistej spełniającej pewne warunki, zwanej oryginałem, funkcji zmiennej zespolonej F(s), zwanej transformatą, określanej wzorem: Warto też zaznaczyć, że transformaty Laplace'a są spisane w tablicach dla większości spotykanych funkcji. Poniższy schemat obrazuje jak stosuje się przekształcenie i odwrotne przekształcenie Laplace'a. Jednak najlepiej będzie to wyjaśnione na przykładzie.


    Przykład 1


  • Na początek zajmijmy się elementarnym jednomasowym modelem, w którym występuje tłumienie c oraz sztywność/sprężystość k.
    Aby móc przekształcić równanie różniczkowe do postaci transmitancyjnej należy je najpierw zapisać. I tu trzeba skorzystać z elementarnej wiedzy z zakresu mechaniki (II zasada dynamiki Newtona, wiedza o tłumieniu, prawo Hooke'a). I równanie opisujące ten układ jest następujące:

    Powyższe równanie częściej można spotkać zapisane bez czasu (t) lub na inne równoważne zposoby zapisu. Znaczenie równania w obu przypadkach jest takie samo, ale zwyczajnie oszczędza miejsce na kartce. Wygląda ono tak:

    I jeszcze jedna forma zapisu, która nic poza "wyglądem" nie zmienia, ale będzie przydatna w dalszej części:
    Podsumowując powyższe mamy jedno równanie, w którym z masą m związane jest przyspieszenie, z tłumieniem c prędkość, a ze sztywnością x przemieszczenie. Jeżeli mas byłoby więcej, to liczbę równań także byłoby trzeba zwiększyć. Te trzy parametry są niezależne od czasu, czyli wraz z jego upływem ich wartość się nie zmieni. Natomiast już p(t) oraz x(t) może się zmieniać, gdyż one zależą od czasu. Rozpatrując te zmienne zgodnie z definicją transmitancji operatorowej zmienna p(t) będzie zatem wymuszeniem czyli wejściem i może być dowolną funkcją lub też jednorazowym impulsem. Natomiast x(t) będzie odpowiedzią układu czyli wyjściem. Intuicyjnie można zauważyć, że jeżeli przyłożymy siłę p(t), to masa m przemieści się o jakąś wartość x.

    Teraz, gdy układ jest już opisany równaniem dynamiki można przejść do zapisania go w postaci transmitancji operatorowej G(s). Do tego jest potrzebna albo umiejętność stosowania całki Laplace'a, albo posiadanie tabeli transformat. Całka została zapisana wcześniej, natomiast gotowe transformaty można znaleźć tu: Transformaty Laplace'a.
    Zgodnie z Tabelą 1 (wzór 1) można napisać, że:

    Powyższy zapis może wydawać się zbędny, ale konieczne jest rozróżnienie w zapisie funkcji zależnej od czasu od tej w dziedzinie zmiennej zespolonej.
    Następnie stosując dodatkowo wzór 5 i 6 otrzymamy następujące równanie już w dziedzinie zmiennej zespolonej s:

    Jak już było powiedziane wcześniej chcąc wyznaczyć transmitancję operatorową układu dążymy do postaci:

    Zatem po wyłączeniu współnego czynnika przed nawias otrzymamy następująca postać:

    A po podzieleniu przez P(s) oraz nawias otrzymamy poniższą transmitancję układu:
    Jak wiadomo z wykładu lub książki jest to człon inercyjny II rzędu.

Kiedyś wstawię jeszcze jeden ciekawy przykład.

Analiza częstotliwościowa układów dynamicznych

Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych jest jedną z podstawowych metod określania właściwości układów dynamicznych. Charakterystyka częstotliwościowa opisuje odpowiedź układu (sygnał wyjściowy) na wymuszenie harmoniczne (sinusoidalny sygnał wejściowy) o częstotliwości zmieniającej się w określonym zakresie (charakter fizyczny sygnału wejściowego i wyjściowego może być różny).
Sygnał harmoniczny jest szczególnie przydatny jako sygnał testowy z kilku powodów:
    • każdy sygnał (skończony lub okresowy) może być wyrażony jako suma sygnałów sinusoidalnych o różnych częstotliwościach (rozkład sygnału na szereg Fouriera),
    • odpowiedź stacjonarnego stabilnego układu liniowego na wymuszenie sinusoidalne jest sinusoidą o tej samej częstotliwości,
    • przebieg sinusoidalny jest łatwy do wygenerowania,
    • sygnały robocze w wielu układach są (przynajmniej w pewnym zakresie) harmoniczne.
Dwa pierwsze fakty wymienione powyżej oraz zasada superpozycji sprawiają, że odpowiedź liniowego układu stacjonarnego na dowolne wymuszenie można wydedukować na podstawie jego charakterystyki częstotliwościowej. Przykładowo, jakość sygnału wyjściowego wzmacniacza audio ocenia się na podstawie jego charakterystyki częstotliwościowej, chociaż sygnały dźwiękowe nie są sinusoidalne. Przebieg charakterystyki częstotliwościowej dostarcza w praktyce więcej informacji na temat zachowania się układu w różnych warunkach niż pojedyncza charakterystyka czasowa (np. odpowiedź impulsowa), chociaż w sensie teoretycznym są one równoważne.

Tabela 1. Charakterystyki częstotliwościowe


Numer


Nazwa charakterystyki


Przykład charakterystyki

1. Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Wykres Nyquist'a
Charakterystyka amplitudowo-fazowa<br>Wykres Nyquist'a
2. Charakterystyki składowej rzeczywistej
i urojonej transmitancji
Charakterystyki składowej rzeczywistej i urojonej transmitancji
3. Charakterystyki liniowe amplitudowa i fazowa Charakterystyki liniowe amplitudowa i fazowa
4. Charakterystyki logarytmiczne amplitudowa
i fazowa Wykresy Bode'go
Charakterystyki logarytmiczne amplitudowa i fazowa<br>Wykresy Bode'go
5. Charakterystyka moduł logarytmiczny-argument
Wykres Black'a
Charakterystyka moduł logarytmiczny-argument<br>Wykres Black'a



Literatura
[1] Kaczorek T., Teoria układów regulacji automatycznej, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1974
[2] Dębowski A., Automatyka. Podstawy teorii, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2008
[3] Żelazny M., Podstawy automatyki, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976
[4] Findeisen W., Technika regulacji automatycznej, Polskie Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978
[5] Markowski A., Atomatyka w pytaniach i odpowiedziach, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1979

Skontaktuj się ze mną

Jestem otwarty na wszelkie sugestie poprawy treści i zawartości strony.

Kontakt

  • lp.ude.taw@ikswobed.jezrdna
  • tel. stacjonarny: 261-837-732
    Budynek 23, pokój 10
  • Plan terenu WAT
  • Wojskowa Akademia Techniczna im. gen. Jarosława Dąbrowskiego
    Wydział Inżynierii Mechanicznej
    Instytut Pojazdów i Transportu
    Zakład Inżynierii Pojazdów i Transportu
    ul. Gen. Sylwestra Kaliskiego 2
    00-908 Warszawa 49
  • www.wat.edu.pl